7.8 Зачем классы?

Бесконечно малые и идеальные объекты полагались объектами, чье признание prima facie полезно для теории и в то же время проблематично (ср. § 7.4). Классы — другой пример того же самого, но они, кажется, сопротивляются подобному прочтению. Для бесконечно малых и идеальных объектов были найдены способы выполнить их теоретические задачи так, чтобы это в конечном счете не требовало допущения таких проблематичных объектов, и от объектов, соответственно, отказались. С другой стороны, никакое подобное уклонение от классов не предлагается; скорее, заметно побуждение двигаться противоположным курсом — сохранить классы и справиться с трудностями, которые они создают. Исследуем этот вопрос.

Если классы вызывают раздражение, то не только по причине, столь сомнительно неприятной, их абстрактности. Числа тоже абстрактны; но классы, если их принимать некритически, приводят к абсурдным вещам. Существует бесконечно много таких парадоксов классов; простейший из них — знакомый парадокс Рассела: класса x(x/∈x), который является членом самого себя, если не является членом самого себя, и не является членом самого себя, если является членом самого себя.

Но все же допущение классов в качестве значений переменных квантификации имеет такую силу, что от него нелегко отказаться. Примеры этой силы были даны в § 6.4 и 7.1, и их список потом пополнялся. Классы могут выполнять работу упорядоченных пар, а следовательно — отношений (§ 7.6), а также — работу натуральных чисел (§ 7.7). Они, кроме того, могут выполнять работу более богатых видов чисел — рациональных, действительных, комплексных; ведь они могут различными способами эксплицироваться на основании натуральных чисел с помощью подходящих конструкций из классов и отношений. Нумерические функции, в свою очередь, можно эксплицировать как определенные отношения чисел. Вселенная классов в целом не оставляет всей классической математике желать никаких других объектов.

Многосторонность классов в выполнении задач сильно различающихся видов абстрактных объектов лучше всего видна в математике, но она не ограничивается математикой, как иллюстрирует пример с отношениями. Возьмем, теперь, болезнь; ее можно рассматривать как класс всех временных сегментов ее жертв, испытывающих воздействия соответствующего вида. Так же точно — для злости и других состояний. Не касаясь интенсиональных объектов, те абстрактные объекты, которые вообще полезно допускать в рамках дискурса, кажутся адекватно эксплицируемыми в терминах вселенной, охватывающей только физические объекты и все классы физических объектов во вселенной (т.е. классы физических объектов, классы этих классов, etc.). Как бы то ни было, я не вижу убедительных исключений.

Такова сила понятия класса в объединении нашей абстрактной онтологии. Отказаться от этой выгоды и снова встретиться со старыми абстрактными объектами во всем их первозданном беспорядке было бы искажением, но если бы только в этом было дело. Мы, однако, должны помнить, что польза классов не ограничивается экспликацией различных других видов абстрактных объектов. Сила этого понятия, проявляющаяся в других отношениях, упомянутых в § 6.4 и 7.1, делает их самих по себе постоянно востребованными в качестве рабочего понятия в математике и кое-где еще: не только в изменчивых видах числа, функции, состояния и всего остального, для экспликации чего оно служит, но также и непосредственно. Оно дает такую силу, которая вряд ли была доступна из других, менее спорных источников.

Не следует считать, что атрибуты, несмотря на особые трудности, связанные с ними (ср. § 6.4), имеют значение как средство устранения классов. Ведь они обычно также вовлечены в парадоксы, совершенно параллельные парадоксам классов. Есть две причины не придавать такого значения атрибутам: они в любом случае бедны и любое средство против парадоксов классов предположительно будет пригодно и для атрибутов.

Так получается, что превалирует решение сохранить классы и каким-то образом избавиться от парадоксов. Теперь не следует удивляться тому, что самопротиворечивое понятие класса должно быть признано сильным. Все препятствия убраны. Оно слишком сильное с точки зрения пользы, поскольку позволяет, как это и происходит, доказывать истинности и ложности без разбора. Тогда проблема состоит в том, чтобы в достаточной степени его ослабить, но не слишком сильно, учитывая будущие задачи.

Известны разные способы сделать это. У них есть свои сильные и слабые стороны, и ни один не выглядит явно самым удовлетворительным. Все они в некотором отношении ограничивают универсальную применимость оператора «x» абстракции класса30. Здесь больше не действует старая гарантия, что для каждого открытого предложения существует класс, единственные члены которого — значения переменных, делающие предложение истинным31. Продолжают ли классы соответствовать всем своим претензиям, например заявленным на предшествующих страницах и в предыдущих главах, следует, таким образом, проверять, обращая внимание на то, какая особая ограничивающая теория принята. Один аргумент, требующий ограничения, был приведен в § 7.1 для устранения «Φx». Однако в целом удается сохранить большую часть пользы, которую, казалось (при счастливом игнорировании парадоксов), принесла старая теория классов, не считая простоты руководящих принципов. Естественность, для чего бы она ни была полезна, конечно, утрачивается; возникает множественность взаимно альтернативных, взаимно несовместимых систем теории классов, каждая из которых имеет лишь самые бесцветно прагматические претензии на внимание. Постольку, поскольку склонность или терпимость к классам может основываться на соображениях естественности, номинализм набирает очки.

Исходная причина предпочтения физических объектов абстрактным обсуждалась в конце § 7.1. Двигаясь дальше под воздействием этих позднейших размышлений, можно мечтательно обозревать шансы номинализма. Можно позволить себе пожертвовать некоторыми из несомненно систематических выгод абстрактных объектов взамен двойного приобретения: устранения менее желательных объектов и устранения радикального дуализма категорий.

В такого рода программе главная проблема — как сказать то, что хочется сказать о физических объектах, не привлекая при этом в качестве вспомогательных средств абстрактные объекты. Так, если некто интересуется американскими журавлями, а вовсе не числами, он всего лишь хочет сказать, что есть шесть американских журавлей. Фактически здесь нет никакой трудности. Форму «Есть n объектов x таких, что Fx» можно перефразировать для каждого отдельного n с помощью знака «=» и кванторов (ср. § 3.8), не требуя, чтобы числа были значениями переменных квантификации. Нет также никакой трудности с введением переменной времени по нашему желанию и даже — с ее квантификацией; ведь моменты времени можно рассматривать как физические объекты, согласно § 5.4.

«Существует ровно столько же мужей, сколько и жен» — случай, где начинаются трудности. «(∃n)(существует n мужей и существует n жен)» здесь не подходит, так как тогда потребуется, чтобы числа были значениями квантифицированных переменных. Не подойдет здесь и «Существует корреляция между мужьями и женами», так как в этом случае потребуется, чтобы отношения были значениями переменных. И проблемы, подобные этой (с выражением «ровно столько же»), возникают также с выражениями «больше чем», «вдвое больше» и им подобными.

Другая трудность состоит в том, что номиналист отталкивается от Фрегевой техники парафраза термина «предок» через термин «родитель» и с помощью квантификации классов (§ 7.1). Он по-прежнему волен принять как «предок», так и «родитель» в качестве относительных терминов, но он теряет теорию, которая их связывает. Закон вида: предки предков суть предки — он вынужден признавать нередуцируемым вместо того, чтобы видеть его подразумеваемым в парафразе Фреге. Пример с термином «предок», более того, — один из бессчетного множества. Для каждого открытого предложения с двумя переменными желательно другое открытое предложение, которое будет связано с ним так же, как «x есть предок y» связано с «x есть родитель y». Это — важная связь, которую можно широко применять.

Перед лицом таких трудностей номиналист не совсем беспомощен. Он может, с некоторой потерей естественности, простоты и общности, выработать альтернативные парафразы терминов «предок», «ровно столько же» и др., которые квантифицировали бы физические объекты вместо абстрактных32. Но это — только образцы трудностей, продолжающих осаждать номиналиста. Он должен продолжать заниматься естественными науками без помощи математики; ведь математика, за исключением некоторых тривиальных ее частей, таких, как самая элементарная арифметика, неизлечимо больна обязательством квантифицировать абстрактные объекты33.

Если радикальная номиналистская доктрина слишком сильна, чтобы ее придерживаться, то существуют компромиссы. Логические парадоксы, которые только что, похоже, обеспечили по крайней мере последний маленький толчок к номинализму, никогда бы не представляли собой угрозы, если бы классы рассматривались как классы конкретных объектов, классы этих классов и так далее, вплоть до какого-то фиксированного уровня, но — не за его пределами. Это ограничение ослабило бы экспликацию чисел точно так же, как дальнейшую работу в математике, но оно — менее строгое, чем номинализм; а числа, в частности, можно было бы по желанию добавлять без экспликации. Большинство таких компромиссов, конечно, бесполезны как общие философские позиции, вследствие произвольности их окончательных вариантов. Можно продолжать идти на уступки по каждому возникающему случаю.

Но для номинализма и для различных промежуточных уровней отрицания абстрактных объектов все же остается место, если мы считаем, вместе с Конантом, науку не единым развивающимся мировоззрением, а множеством работающих теорий (см. конец § 7.4). Номиналист может реализовать свое предпочтение в специальных областях и указывать с гордостью на теоретические улучшения, достигнутые в них. В таком же духе даже математики, реалисты ex officio, всегда рады обнаружить, что некоторые частные математические результаты, которые полагались зависимыми от функций или классов чисел, например, можно заново доказать без обращения к каким-либо другим объектам, за исключением чисел. Вообще направляющим для понимания будет предложение фиксировать наши предпосылки в отношении объектов и иные, проект за проектом, и приветствовать онтологическую экономию в связи с одним проектом, даже если для следующего требуется более обильная онтология. Но также важно иметь под рукой менее экономные и более сильные математические теории как инструменты открытия для быстрого использования в непредвиденных случаях — даже несмотря на то, что в каждом таком случае мы затем берем на себя заботу обнаружения более экономных способов получения того же самого результата.

30 Заметим, что универсально применимый оператор «x» из моей работы “Mathematical Logic” имеет другое употребление: он объединяет «элементы», а не объекты вообще.

31 Рассел получает такой же результат методом, который действительно сохраняет букву, если не дух, этой старой гарантии: он исключает часть области открытых предложений. См. § 6.8.

32 См.: Goodman and Quine.

33 Программа номинализма кажется уже, и безболезненно, осуществленной, если считать, что теория неполных символов Уайтхеда и Рассела справляется с устранением классов. Но это не так; она лишь устраняет классы в пользу атрибутов. См. мою работу “Whitehead and the rise of modern logic”. Больше о номинализме можно узнать из моей работы “From a Logical Point of View”, Essay 6; Goodman. Structure of Appearance, Ch. II; Martin. Truth and Denotation, Ch. XIII; Stegmüller. Die Universalien-problem einst und jetzt.