Мы смогли, не мучаясь, отречься от сэйков, мер, не воплощенных в действительность возможностей и фактов, удовлетворившись тем, что их допущение не послужило бы никакой достойной цели. С другой стороны, не надо далеко ходить за примерами предполагаемых абсурдных или проблематичных объектов, которые вследствие этого таковы, что их устранение из пространства значений наших переменных угрожает ослабить наш аппарат. Бесконечно малые представляют собой классический пример такого конфликта и его разрешения.
Понятие бесконечно малого возникло из вопроса о том, как понимать скорости, например мгновенные скорости. Что значит сказать о частице, что она в мгновение времени t имеет скорость десять футов в секунду? Не в точности то, что в течение некоего действительного периода времени в s секунд (скажем, сотых долей секунды), образующего t, частица проходит соответствующее расстояние в 10s футов (десятые доли фута); ведь скорость может меняться в течение этого и любого периода времени. Ньютон и Лейбниц ответили, каждый своим, вариантами дифференциального исчисления, постулировав бесконечно малые: количества, неопределенно близкие к нулю и все же, что довольно абсурдно, отличные друг от друга. Частица, движущаяся со скоростью десять футов в секунду в момент t, полагалась проходящей определенное бесконечно малое расстояние d во время t, а частица, движущаяся со скоростью двадцать футов в секунду в момент t, полагалась проходящей другое бесконечно малое расстояние 2d во время t, при том что истекшее время в обоих случаях равнялось нулю. Хотя идея бесконечно малых была абсурдной, дифференциальное исчисление, в котором бесконечно малые считались значениями переменных, дало истинные и ценные результаты.
Конфликт разрешил Вейерштрасс, показав своей теорией пределов, как предложения дифференциального исчисления могут систематически перетолковываться так, чтобы вводить в качестве значений переменных только правильные числа, не ослабляя полезности исчисления. Согласно его анализу, сказать, что частица движется со скоростью десять футов в секунду в момент t, — значит сказать, что, сужая временной промежуток s вокруг t, можно получить настолько близкое к 10s расстояние, насколько это нужно; т.е.:
(x)(если x > 0, то (s)(расстояние в футах, пройденное в течение s секунд
вокруг t — между 10s - x и 10s + x)).
Идеальные объекты, о которых, похоже, говорят описания механики, представляют собой случай, в определенном отношении параллельный случаю бесконечно малых: точки массы, поверхности без трения, изолированные системы. Точно так же, как бесконечно малые вступали в противоречие с арифметикой, точка с массой, поверхность без трения или система с иммунитетом к внешним воздействиям противоречат физической теории. В то же самое время элементарные законы механики регулярно формулируются в терминах этих идеальных объектов, так же, как однажды дифференциальное исчисление было сформулировано в терминах бесконечно малых.
Обращение к идеальным объектам в механике регулярно осуществляется посредством универсальных условных предложений: например, (x)(если x есть точка массы, то. . . ). He-существование идеального объекта, следовательно, не фальсифицирует механику; она оставляет такие предложения бессмысленно истинными ввиду отсутствия контрпримеров. Таким образом, механика может показаться чем-то лучшим в отношении идеальных объектов, чем было когда-то дифференциальное исчисление в отношении бесконечно малых. Но это — поверхностное различие. В идеальных объектах нас должно беспокоить следующее. Если, по законам физики, нет таких объектов и поэтому, по законам физики, все универсальные условные предложения, имеющие с ними дело, тривиально истинны, то как тогда получается, что некоторые из этих условных предложений скорее, чем другие, по-прежнему, очевидно, сообщают полезную научную теорию?
Эта дилемма идеальных объектов, подобно дилемме бесконечно малых, имеет свое решение в теории пределов. Когда некто утверждает, что точки массы ведут себя так-то и так-то, его можно понять как говорящего приблизительно следующее: что частицы данной массы ведут себя тем более так-то и так-то, чем меньше их объемы. Когда некто говорит об изолированной системе частиц как о ведущей себя так-то и так-то, его можно понять так, что он говорит, что система частиц ведет себя тем более так-то и так-то, чем меньше энергии она получает от внешнего мира или отдает внешнему миру. Вот таким образом, вообще говоря, был бы предположительно перефразирован сжатый разговор об идеальных объектах, если бы это потребовалось.
Доктрина идеальных объектов в физике «символична» в том смысле, в каком это слово употребляют литературные критики, психоаналитики и философы религии. Это — обязательный миф, полезный вследствие живости, красоты и существенной правильности, с которой он отображает определенные аспекты природы даже тогда, когда, при буквальном прочтении, он фальсифицирует природу в других отношениях. Он также полезен вследствие простоты, которую он привносит в некоторые вычисления. Простота же в теории, имеющей дело с предложениями наблюдения, постольку, поскольку ее контакты с ними продолжаются, является лучшим свидетельством истинности, какого мы только можем потребовать; ничего лучшего не скажешь в пользу доктрин молекул и электронов. Что определяет мифичность доктрины идеальных объектов в противоположность буквальной истинности (в свете сегодняшних достижений) доктрин молекул и электронов, так это то, что она упрощает ограниченную область высказываний ценой более серьезных усложнений в более объемлющей области. Когда мы перефразируем наши высказывания об идеальных объектах в духе Вейерштрасса, как кратко рассмотрено выше, мы просто переходим от удобно простой на первый взгляд, но сложной при более пристальном рассмотрении, теории к теории с противоположными характеристиками. Если последняя считается истинной, если хотя бы одна из двух вообще считается таковой, то первая приобретает низший статус удобного мифа, не более чем символа этой высшей истины. Между тем определение или правило парафраза позволяет нам наслаждаться лучшим из обоих миров (ср. § 5.7).
Здесь еще более к месту напомнить себе, что парафраз не претендует на установление какой-либо синонимии. Он лишь координирует употребления различных теорий для достижения различных выгод. Придерживайтесь, если хотите, мнения, что миф об идеальных объектах просто удобен, но не вполне истинен и что парафраз истинен; или, если хотите, считайте, что миф об идеальных объектах строго истинен благодаря тому, что у него есть парафраз, являющийся его истинным значением. Любая из этих философий приемлема в той мере, в какой обе воспринимаются как приблизительные описания одной и той же ситуации; противоположными они кажутся благодаря выдуманному, более чем импрессионистскому способу говорить об «истинном значении».
Во многом такое же отношение, какое мы наблюдали между доктриной идеальных объектов и полностью оснащенной физической теорией, можно сказать, в наши дни установлено между физикой Ньютона и теорией относительности. Будучи проще, законы Ньютона сохраняются в употреблении для удобства там, где отклонения от строгой истины, подразумеваемой так установленным отношением, достаточно незначительное, чтобы затруднить выполнение конкретных задач. Так, в том же смысле, в каком мы назвали доктрину идеальных объектов удобным мифом, символикой истин, отличных от тех, которые манифестирует его контекст, мы могли бы равным образом назвать физику Ньютона удобным мифом, символикой той высшей истины (в свете сегодняшних достижений), которой является теория относительности. Парафраз мифа в буквально принятую теорию здесь также осуществлялся бы как у Вейерштрасса: каждое предложение физики Ньютона, утверждающее, что тела ведут себя так-то и так-то, рассматривалось бы как высказывание о том, что тела ведут себя тем более так-то и так-то, чем меньше их относительные скорости.
Такие соображения принимают участие в том, что церковники называют высшим критицизмом. Они нацелены на примирение какой-либо ограниченно полезной теории с объемлющей теорией, которой она при буквально ориентированном прочтении противоречит: исчисление бесконечно малых — с классической математикой чисел, механику идеальных объектов — с общей физикой, а физику Ньютона — с физикой Эйнштейна. Но будем между тем также помнить, что знание нормально развивается при посредстве множества теорий, каждая из которых имеет свою ограниченную полезность и внутренне совместима до той поры, пока не станет в большей степени опасной, нежели полезной15. Эти теории в весьма значительной степени совпадают между собой своими так называемыми логическими законами и еще много чем, но требование, чтобы они представляли собой увеличения некоего интегрированного и непротиворечивого целого, — это всего лишь достойный идеал, а, к счастью, не необходимое условие научного прогресса. Сохраняющаяся полезность механики идеальных объектов и механики Ньютона — достаточная причина бережного отношения и преподавания этих теорий, как бы они ни конфликтовали с более величественными теориями; и то же самое было истинно в отношении бесконечно малых до Вейерштрасса. Учитывая все сказанное, пусть примирение продолжается; каждый такой шаг увеличивает наше понимание мира.
15 См.: Conant, pp. 98 ff.